招教考試中學數學學科專業知識第八章：平面向量

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招教考試中學數學學科專業知識（第八章第一節）

　　第一節  平面向量

　　一、平面向量的概念 ★★★

　　1.既有大小又有方向的量稱為向量.

　　2.向量的表示方法: 幾何表示法、字母表示法.

　　3.相等向量:方向相同且長度相等的有向線段表示同一向量或相等向量.

　　4.如果AB=a,那么AB的長度,叫做a的模,記作|a|或|AB|.

　　5.長度為零的向量,叫做零向量,記作0，其向量的方向不確定.

　　6.與非零向量a同方向且長度等于1的向量,叫做a的單位向量,若a的單位向量為a0,則a0與a的關系是a0=a|a|.

　　7.通過有向線段AB的直線,叫做向量AB的基線.

　　8.如果向量的基線互相平行或重合,則稱這些向量平行或共線.

　　二、平面向量的線性運算 ★★★★

　　1.向量的加法運算

　?。?）已知向量a、b,在平面上任取一點A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,則向量AC叫做a與b的和(或和向量) ,記作a+b.

　?。?）向量加法滿足：① 交換律:a+b=b+a.② 結合律:（a+b）+c=a+(b+c).

　　(3)向量加法可以使用平行四邊形法則、三角形法則.

　?、?AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則（首尾相連，連接首尾，指向終點）.

　?、?已知兩個從同一點O出發的向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則.

　　2.向量的減法運算

　?。?）相反向量:與a方向相反且等長的向量叫做a的相反向量,記作-a.

　?。?）把兩個向量的起點放在一起,則兩向量的差是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量.若共同起點是坐標原點,則差可簡記為: 終點向量減起點向量.如圖所示.

　　3.向量的數乘運算

　　實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa, λa的長|λa|= |λ||a|.

　　λa(a≠0)的方向：

　　當λ＞0，與a同方向；

　　當λ＜0時,與a反方向;

　　當λ=0或a=0時,0a=0或λ0=0(如下圖).

　　說明：

　　λa中的實數λ,叫做向量a的系數.向量數乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小.

　　實數與向量的積的運算律:

　　設λ、μ∈R,a、b是向量,則

　?、?(λ+μ)a= λa+μa；

　?、?λ(μa)=(λμ)a；

　?、?λ(a+b)=λa+λb.

　　注意：（1)兩個向量的和仍是向量.

　　(2)實數與向量不能進行加減法運算,如λ±a無法運算.

　　?真題點睛

　　1.給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，他們的夾角為90o，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上運動，若CO=xOA+yOB，其中x,y∈R，則x+y的最大值是（）.

　　A. 1B. 2

　　C. 3D. 2

　　【答案】 B

　　【老師點評】 以O為原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立直角坐標系.

　　則A(1,0),B(0,1)，C(x,y),C點在圓x2+y2=1上。所以,(x+y)2=x2+y2+2xy≤1+2·x2+y22=2.因此，x+y的最大值是2.

　　2.如圖,若ABCD是一個等腰梯形,AB∥DC,M,N分別是DC、AB的中點,已知AB=a,AD=b,DC=c,試用a、b、c表示BC、MN、DN+CN.

　　【老師點評】 BC=BA+AD+DC=-a+b+c.

　　∵MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN,

　　∴2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN=-AD+CB=-b-(-a+b+c)=a-2b-c,

　　∴MN=12a-b-12c.

　　DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.