招教考試中學數學學科專業知識第六章：二項式定理

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招教考試中學數學學科專業知識（第六章第二節）

　　第二節  二項式定理

　　一、二項式定理 ★

　　二項式定理：(a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*).

　?。?）右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式.

　?。?）各項的系數Crn叫做二項式系數.

　?。?）式中的Crnan-rbr叫做二項展開式的通項，它是二項展開式的第r+1項.

　　即Tr+1=Crnan-rbr(r=0,1,2,…,n).

　?。?）二項展開式的特點：

　?、?共n+1項；

　?、?按字母a的降冪排列，次數從n到0遞減；

　?、?二項式系數Crn中r從0到n遞增，與b的次數相同；

　?、?每項的次數和都是n.

　　二、二項式系數的性質 ★

　　性質1(a+b)n的二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即Cmn=Cn-mn.

　　性質2二項式系數表中，除兩端以外其余位置的數都等于它肩上兩個數之和，即Cmn+Cm-1n=Cmn+1.

　　性質3(a+b)n的二項展開式中，所有二項式系數的和等于2n，即C0n+C1n+…+Cnn=2n.

　　性質4(a+b)m的二項展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即C0n+C2n+…+C2rn+…=C1n+C3n+…+C2r+1n+…=2n-1.

　　性質5(a+b)n的二項展開式中，當n為偶數時，中間一項的二項式系數Cn2n取得最大值；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等，都為Cn-12n且同時取得最大值 （即中間項的二項式系數最大）.

　　三、二項式定理的常見題型及解法 ★★★

　　1.求二項展開式

　?。?）“(a+b)n”型的展開式

　　例1求3x+1x4的展開式.

　　解：原式=3x+1x4=(3x+1)4x2

　　=1x2C04(3x)4+C14(3x)3+C24(3x)2+C34(3x)+C44

　　=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)

　　=81x2+108x+12x+1x2+54.

　?。?）“(a-b)n”型的展開式

　　例2求3x-1x4的展開式.

　　分析：解決此題，只需要把3x-1x4改寫成3x+-1x4的形式然后按照二項展開式的格式展開即可.

　　解：原式=3x+-1x4=3x-1x4=（3x-1）4x2

　　=1x2C04（3x）4-C14(3x)3+C24(3x)2-C34(3x)+C44

　　=81x2-108x+12x-1x2+54.